1. Phát biểu định luật Bernoulli

Định luật Bernoulli phát biểu rằng:

Tổng năng lượng của một chất lỏng lý tưởng (không nhớt, không nén được) trong dòng chảy ổn định là không đổi tại mọi điểm trên cùng một đường dòng 

$$\boxed{\frac{p}{\gamma} + h + \frac{v^2}{2g} = \text{const}}$$

Trong đó:

\({\frac{v^2}{2g}}\) : cột vận tốc (năng lượng động học)

\({\frac{p}{\gamma}}\) : cột áp suất

h: cột áp do độ cao (elevation head)

2. Ý nghĩa vật lý

Tổng 3 giá trị này gọi là tổng cột áp (total head).

2. Chứng minh định luật Bernoulli 

 Thông số từ hình:

Trong thời gian Δt, chất lỏng di chuyển quãng đường:

$$s_1 = v_1 \Delta t$$

$$s_2 = v_2 \Delta t$$

Thể tích chất lỏng chuyển động ở cả hai đầu là bằng nhau:

$$A_1 v_1 \Delta t = A_2 v_2 \Delta t$$

Công do lực áp suất p1: 

$$F_1 = p_1 A_1 \quad \Rightarrow \quad W_1 = p_1 V$$

Công do lực áp suất p2: 

$$F_2 = p_2 A_2 \quad \Rightarrow \quad W_2 = -p_2 V$$

Công do lực áp suất tổng cộng :

$$W_{\text{áp suất}} = W_1 + W_2 = (p_1 - p_2) V$$

Thay đổi động năng:

$$\Delta KE = \frac{1}{2} \rho V (v_2^2 - v_1^2)$$

Phương trình năng lượng: Công của lực + biến thiên thế năng = biến thiên động năng

$$(p_1 - p_2) V + \rho g V (h_2 - h_1) = \frac{1}{2} \rho V (v_2^2 - v_1^2)$$

Chia hai vế cho \({ρV}\):

$$\frac{p_1 - p_2}{\rho} + g(h_2 - h_1) = \frac{1}{2}(v_2^2 - v_1^2)$$

Suy ra: 

$$\frac{p_1}{\rho} + g h_1 + \frac{1}{2} v_1^2 = \frac{p_2}{\rho} + g h_2 + \frac{1}{2} v_2^2$$

$$\frac{p_1}{\gamma} + h_1 + \frac{v_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\gamma} + h_2 + \frac{v_2^2}{2g}$$

Kết luận – Phương trình Bernoulli tổng quát:

$$\boxed{\frac{p}{\gamma} + h + \frac{v^2}{2g} = \text{const}}$$

4. Ứng dụng thực tế

5. Bổ sung tổn thất năng lượng

Khi dòng chảy có tổn thất (do ma sát, chuyển hướng), ta sửa lại phương trình:

$$\frac{p_1}{\gamma} + h_1 + \frac{v_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\gamma} + h_2 + \frac{v_2^2}{2g} + h_f$$

\({h_f}\): tổn thất cột áp do ma sát, thu hẹp ống, quẹo góc, nhiễu loạn dòng…tính theo công thức Darcy–Weisbach hoặc Hazen–Williams