I. Mở đầu

Đã từ lâu bạn tự hỏi các hiện tượng tự nhiên gắn liền với Toán học ở chỗ nào? Phương trình N-S này là một trong những câu trả lời dành cho bạn. Phương trình này miêu tả chuyển động của dòng chảy chất lỏng và khí trong tự nhiên, thường được nhắc tới nhiều trong động lực học chất lưu (Fluid Dynamics). Dựa vào phương trình này, tuỳ vào từng trường hợp cụ thể trong thực tế, ta sẽ có những giá trị tương ứng cho các biến trong phương trình. Sau đó dùng phương pháp số kết hợp lập trình dựa trên phương trình này, ta sẽ có những hình vẽ mô phỏng chuyển động của chất lưu. Từ đó ta có thể dự đoán, thay đổi giá trị và quan sát chỉ đơn giản bằng phần mềm mà không cần thực nghiệm thực tế.

Có thể liệt kê một số hiện tượng/sự vật thực tế có sự hiện diện của phương trình N-S như:

🔹Nhiệt lượng lưu thông khi một chiếc máy bay đang bay

🔹Dòng suối đang chảy qua những cục đá

🔹Bạn rót nước vào một chiếc bình và quan sát chuyển động của dòng chảy

🔹Luồng khí di chuyển trong một số sự vật hiện tượng

II. Nội dung

Nội dung chính của lý thuyết Toán học cần biết để đi vào hiểu rõ hơn về phương trình NS chính là trường vector (vector field). Một trường vector được hiểu là một ánh xạ từ mỗi điểm trong không gian thực 2 hoặc 3 chiều vào một vector. Mỗi vector này có thể xem là tích của một vector đơn vị có hướng (directional unit vector) với một đại lượng vô hướng (scalar). Trong động lực học chất lưu (fluid dynamic), giá trị của một trường vector tại một điểm có thể được xem là vận tốc tại điểm đó (velocity). Trường vector rất cần thiết cho động lực học chất lưu vì nhờ nó mà ta có thể hình tượng hóa được đường đi của chất lưu tại bất kỳ điểm nào.

Biễu diễn dòng chảy bằng các mũi tên vector.

Ví dụ như hình trên, bạn có 1 bể nước hình chữ nhật, dưới con mắt toán học, thay vì nhìn bể là 1 dạng liên tục của các điểm (các điểm khít nhau vô tận), bạn có thể làm “thưa” chúng đi. Tại mỗi điểm đó, ta sẽ thấy các trường vector được biểu diễn bởi những mũi tên, đó cũng là hướng di chuyển của dòng chảy tại điểm đó. Sau đó, ta tăng dần mật độ các điểm này lên đến vô tận, hay nói cách khác, ta sẽ dần tiến về thực tế của cái bể hình chữ nhật này.

1. Phương trình Navier-Stokes (N-S)

Phương trình Navier-Stokes (N-S) có thể được xem như là hệ quả của Định luật 2 Newton. Đối với các vật chất rắn (solid), định luật này được biểu diễn dưới dạng F= ma trong đó lực F là tích của khối lượng m của vật với gia tốc a của vật đó.

Còn đối với các thể liên tục (nước, lửa, không khí,…), ta có phương trình tương ứng của Định luật 2 Newton là :

$$\rho \left( \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \vec{u} \cdot \nabla \vec{u} \right) = \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \vec{f} \tag{1}$$

Dạng phân tích ứng suất thành áp suất và ma sát nhớt:

$$\rho \left( \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \vec{u} \cdot \nabla \vec{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{u} + \vec{f} \tag{2}$$

Dạng chuẩn (sau khi chia cho ρ và biến đổi):

$$\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}= -(\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u}- \frac{1}{\rho} \nabla p+ \mu \nabla^2 \vec{u}+ \vec{f}$$

Ghi chú : 

\({\rho}\) : mật độ chất lỏng

\({\vec{u}}\) : vector vận tốc

\({\nabla p}\) :gradient của áp suất

\({\mu}\) : độ nhớt động lực

\({\nabla^2 \vec{u}}\) : toán tử Laplacian của vận tốc (phản ánh lực nhớt)

\({\vec{f}}\) : lực ngoài (ví dụ: trọng lực)

2. Ý nghĩa thực tế của các thành phần

2.1. Thành phần 1: \({-(\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u}}\)

Thành phần đầu tiên là lượng \({-(\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u}}\). Thành phần này cho thấy được làm cách nào mà divergence có thể tác động lên đại lượng vận tốc u. Dễ hình dung nhất chính là liên tưởng đến một con sông. Nếu trên dòng chảy của dòng sông ấy có một chỗ hình giống một cái phễu, nghĩa là nó hẹp lại ở một điểm nào đó. Ta thấy rằng tốc độ dòng chảy sẽ tăng lên ở chỗ hẹp ấy và ngược lại, nếu dòng sông phân tán ra khỏi phễu theo hướng rộng ra, lượng nước sẽ tăng nhưng tốc độ dòng chảy sẽ bị giảm lại, xem thêm hình bên dưới. Đại lượng \({-(\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u}}\) miêu tả cho điều ấy.

2.2. Thành phần 2: \({\frac{1}{\rho} \nabla p}\)

Thứ hai đó là lượng \({\frac{1}{\rho} \nabla p}\). Đại lượng này miêu tả ảnh hưởng của áp suất lên sự thay đổi của các phần tử chất lưu. Cụ thể hơn, dòng chảy có khuynh hướng đi về nơi có áp suất thấp hơn từ nơi có áp suất cao.

2.3. Thành phần 3:\({\mu \nabla^2 \vec{u}}\)

Bây giờ ta xét tới \({\mu \nabla^2 \vec{u}}\). Hai thành phần chính là μ và toán tử \({\nabla^2}\) . Sẽ rất khó để hình tượng hóa các đại lượng này nhưng hãy nghĩ đến chúng như là sự khác nhau giữa các phần tử và các ông hàng xóm của nó. Ví dụ như ta so sánh giữa sirô (chất lỏng với độ nhớt cao) và nước (chất lỏng với độ nhớt bé hơn), một muỗng sirô đặc khi các phần tử di chuyển sẽ kéo các phần tử khác di chuyển theo, còn với nước thì điều này khó hơn vì độ nhớt của nó thấp hơn.

2.4.Thành phần 4:\({\vec{f}}\)

Và đại lượng cuối cùng f, như đã nói ở trên, nó là lực tác động lên chất lưu đang xét.