1) Bối cảnh & ký hiệu
Extended-fill: nạp & phản ứng đồng thời, không có \(Q_w\) trong pha.
T: thời lượng pha; VER =\(\dfrac{V_f}{V_t}\)
\(V_0=(1-\text{VER})V_t\), \(V(t)=V_0+Q_{in}t\)
$$k=\dfrac{\text{VER}}{1-\text{VER}}=\dfrac{V_f}{V_0}$$
$$v(t)=\dfrac{V(t)}{V_0}=1+\dfrac{k}{T}t$$
\(X_a\): VSS hoạt tính; \(X_i\): VSS trơ (nbVSS + cell-debris).
\(f_d\): phần decay thành debris; b: tốc độ endogenous; \(X_{nb,in}\): nbVSS dòng vào.
\(r_a(t)=\mu(S,t)-b\)
2) ODE cho \(X_i\) và chuẩn hoá \(Q_{in}/V(t)\)
\[\frac{dX_i}{dt}= -\frac{Q_{in}}{V(t)}X_i + f_d b X_a + X_{nb,in}\frac{Q_{in}}{V(t)}. \tag{1}\]
Vì \(Q_{in}=V_f/T\) và \(V(t)=V_0\,v(t)\)
\[\frac{Q_{in}}{V(t)}=\frac{V_f/T}{V_0 v(t)}=\frac{k/T}{1+k\,t/T}\equiv a(t). \tag{2}\]
3) Nhân tử tích phân
Đưa (1) về dạng tuyến tính:
\[\frac{dX_i}{dt}+a(t)X_i=f_d b X_a+X_{nb,in}a(t)\]
Chọn nhân tử tích phân:
\[\mathrm{IF}(t)=\exp\!\Big(\int a(t)\,dt\Big) =\exp\!\Big(\ln(1+\tfrac{k}{T}t)\Big)=1+\frac{k}{T}t=v(t)\]
Nhân hai vế với v(t) và dùng quy tắc tích:
\[\boxed{\frac{d}{dt}\,[X_i v...