1) Các giả thiết
Pha extended-fill: nạp và phản ứng đồng thời trong thời gian \(T_f\); không rút bùn trong pha này.
Bể trộn hoàn toàn (CSTR), \(Q_{in}\) không đổi; cơ chất xét là S (mg/L, COD hòa tan).
Sau lắng–xả, nồng độ hòa tan giữ nguyên ⇒ điều kiện chu kỳ: S(0)=S.
2) Cân bằng khối lượng & ODE
Thể tích tức thời:
\[V(t)=V_0+Q_{in}t,\qquad 0\le t\le T_f\]
Cân bằng cho S:
\[\boxed{\;\frac{dS}{dt}=\frac{Q_{in}}{V_0+Q_{in}t}\,(S_{in}-S)+r_S(S)\;}\]
trong đó \(r_S(S)\) (mg/L·time) là tốc độ phản ứng sinh học (âm nếu tiêu thụ).
Nghiệm tổng quát (dùng nhân tử tích phân)
Đặt \(\mu(t)=V_0+Q_{in}t\). Khi đó
\[\frac{d}{dt}\big[\mu(t)\,S(t)\big]=Q_{in}S_{in}+\mu(t)\,r_S(t)\]
Tích phân từ 0 đến t (với S(0)=S)
\[\boxed{\,S(t)=\frac{V_0S_0+Q_{in}S_{in}\,t+\displaystyle\int_0^t r_S(\tau)\,[V_0+Q_{in}\tau]\,d\tau}{V_0+Q_{in}t}\, }\]
Hai trường hợp đặc biệt hay dùng
Bậc 0 (hằng): \(r_S=-k_0\)
\[\displaystyle S(t)=\frac{V_0S_0+Q_{in}S_{in}t-k_0\!\left(V_0t+\tfrac12Q_{in}t^2\right)}{V_0+Q_{in}t}\]
Bậc 1 (Monod tuyến tính hoá...